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Contribution à l’étude de certains problèmes en domaines non-bornés et aux équations de la magnétohydrostatique et la magnétohydrodynamique

Par Monsieur Tahar Zamène BOULMEZAOUD Discipline : MATHEMATIQUES

Résumé : Ce mémoire  comporte  une  présentation de   travaux de recherches en équations aux dérivées partielles et en calcul scientifique.  Ces travaux se scindent essentiellement en trois  parties. La première partie  porte  sur l'utilisation des espaces de Sobolev avec poids dans la résolution de problèmes posés dans des domaines non bornés,  tels que le demi-espace ou l'espace tout entier. On illustre l'intérêt de ces espaces dans la prise en compte des conditions à l'infini, qu'elles soient de décroissance forte ou modérée,  ou de croissance polynômiale. On présente une classe de  résultats   sur le laplacien,  les systèmes rot-div,   le bilaplacien, les systèmes de Stokes et d'Oseen.  Ces explorations  théoriques sont couronnées par une méthode numérique  pour des domaines non bornés, pas nécessairement à frontière compacte. Il s'agit de la  Méthode des Eléments Finis Inversés (MEFI),  dont on prouve l'efficacité  aussi bien théoriquement que par des tests numériques.     Cette première partie se termine par un travail consacré  à la caractérisation de l'image par transformation de Fourier des espaces de Sobolev avec poids.  On montre, après avoir introduit un cadre général, que cela se ramène à une loi proprement  algébrique. On découvre par l'occasion une famille infinie d'espaces à poids invariants par transformation de Fourier. La deuxième partie de ce mémoire résume  des travaux portant  sur  la magnétohydrostatique et la magnétohydrodynamique. Le premier volet de ces travaux concerne les  champs de Beltrami, linéaires ou non linéaires, pour lesquels on démontre divers résultats d'existence, de  régularité et d'approximation. Le deuxième volet   porte sur la résolution numérique des équations de la MHD idéale. La dernière partie de ce mémoire comporte une  présentation de  travaux concernant, d'une part,  les équations de Maxwell, et  d'autre part un problème d'observabilité.

Abstract : A contribution to  the studying  of some problems  in unbounded domains and to magnetohydrostatic and magnetohydrodynamic equations. This dissertation  is devoted to   some research studies  in  partial differential equations and scientific computing.  It is divided into three parts. The first part concerns the use of Weighted Sobolev spaces in treating problems in domains with infinite extent. These spaces describe  in a natural way  the decay or the  growth of functions at large distances.  We expose a class of  results concerning the Laplacian, the divergence, curl-div systems,  the bilaplacian, the Stokes' and Oseen's equations.   From a numerical viewpoint, we introduce  a new method for solving problems in unbounded  domains, called Inverted Finite Elements Method (IFEM).  The high efficiency of this  method is proved theorically and by computational tests. This first part   ended with a result  concerning the image by Fourier transform of a family of weighted Sobolev spaces. We prove that such an  image can be characterized by means of an algebraic law. We discover by the way an infinite family of invariant spaces by Fourier transform. In the second  part, we give an overwiew of our works concerning magnetohydrostatic and magnetohydrodynamic equations.  Firstly, we deal with linear and non-linear Beltrami (or force-free) fields for which  we display  existence, regularity and computational results. Next, we deal with the numerical solving of ideal MHD equations. In the last part  of this dissertation we expose  some results concerning Maxwell's equations and an observability problem.
Informations complémentaires

Jean DOLBEAULT, Directeur de recherche CNRS au Centre De Recherche en Mathématiques de la Décision (CEREMADE) -rapporteur Reinhard FARWIG, Professeur des Universités à l'Université de DARMSTADT Allemagne - Rapporteur Serge NICAISE, Professeur des Universités à l'Université de Valencienne - Rapporteur Luc ROBBIANO, Professeur des Universités à l'Université de Versailles Saint Quentin en Yvelines - Examinateur Tahar AMARI, Directeur de recherche CNRS à l'Ecole Polytechnique CPHT Palaiseau - Examinateur Patrick JOLY, Directeur de recherche INRIA à l'INRIA de Rocquencourt au Chesnay - Examinateur Laurence HALPERN, Professeur des Universités à l'Université de Paris XIII Villetaneuse - Examinateur Bertrand MAURY, Professeur des Universités à l'Université de Paris XI Orsay - Examinateur Yvon MADAY, Professeur des Universités à l'Université de Paris VI Jussieu - Examinateur