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«Etude de modèles mathématiques des condensats de Bose-Einstein pour différents types de pièges et d’interactions» par Mme Jimena Royo-Letelier

Présentée par : Jimena ROYO-LETELIER Discipline : Mathématiques appliquées et applications des mathématiques Laboratoire : LMV

Résumé :
Cette thèse porte sur l'étude mathématique de modèles théoriques des condensats de Bose-Einstein. On considère la fonctionnelle d'énergie de Gross-Pitaevskii pour différents types de piégeages et d'interactions. On étudie des modèles de condensats à deux dimensions définis sur tout l'espace, en rotation et à plusieurs composants, ainsi qu'un modèle décrivant une particule chargée dans un milieu périodique bidimensionnel avec champ magnétique. Les outils mathématiques utilisés sont les équations aux dérivées partielles, l'analyse non linéaire, la théorie géométrique de la mesure, la théorie spectrale et l'analyse semi-classique. Les résultats principaux vont dans quatre directions. Le premier résultat établit la non existence de vortex dans la zone de faible densité d'un condensat en rotation sous-critique. Le deuxième résultat montre la brisure de symétrie et de la ségrégation d'un condensat à deux composants dans le régime de fort couplage et faible interaction. On résout aussi un problème de partition optimale spectrale associée à un opérateur de Schrödinger dans le plan. On introduit un nouveau modèle de minimisation du périmètre pour l'étude d'un condensat à deux composants dans le régime de fort couplage et forte interaction. Le troisième résultat concerne la -convergence de la fonctionnelle d'énergie d'un condensat à deux composants dans ce dernier régime. Le dernier résultat traite du spectre d'un opérateur de Schrödinger périodique magnétique dans un réseau de kagome.

Abstract :
This PhD thesis is devoted to the mathematical study of theoretical models for Bose-Einstein condensates. We consider the Gross-Pitaevskii functional for several types of trapping potentials and interactions. We analyze models for two-dimensional condensates defined over all R^2, under rotation and with several components. We also analyze a model for a charged particle in a two-dimensional periodic media under magnetic field. The mathematical tools employed are partial differential equations, nonlinear analysis, geometric measure theory, spectral theory and semi-classical analysis. The are four main results. The first one establishes the non existence of vortex in the low density zone of a condensate under subcritical rotation. The second result proves the segregation and the symmetry breaking of a two-components condensate in the strongly coupled and weakly interacting regime. We also solve an optimal partition problem associated with a Schrödinger operator in R^2. We introduce a new minimal perimeter model for the study of two-components condensate in the strongly coupled and strongly interacting regime. The third result is about the -convergence of the energy functional of a two-component condensate in this last regime. The last result concerns the spectrum of a magnetic periodical Schrödinger operator on the kagome lattice.
Informations complémentaires
Dorin BUCUR, Professeur des Universités, à l’Université de Savoie/Laboratoire de Mathématiques - Le-Bourget-du-Lac - Rapporteur
Etienne SANDIER, Professeur des Universités, à l’Université Paris-Est Créteil/Département de Mathématiques - Créteil - Rapporteur
Amandine AFTALION, Directeur de Recherche, à l’Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines/Laboratoire de Mathématiques de Versailles (LMV) - Versailles - Directeur de thèse
Bernard HELFFER, Professeur des Universités, à l’Université Paris-Sud 11/Département de Mathématiques - UMR CNRS 8628 - Orsay - Co-Directeur de thèse
Maria J.ESTEBAN, Directeur de Recherche, à l’Université Paris-Dauphine/Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision (CEREMADE) -UMR 7534 - Paris - Examinateur
Susanna TERRACINI, Professeur des Universités, à l’Université de Torino/Département de Mathématiques «Giuseppe Peano» - Torino (Italie) - Examinateur
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