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«Optimisation polynomiale et variétés polaires : théorie, algorithmes, et implantations» par Aurélien Greuet

Présentée par : Aurélien Greuet Discipline : mathématiques appliquées et applications des mathématiques Laboratoire : LMV

Résumé :
Le calcul de l'infimum global $f^*$ d'un polynôme à $n$ variables sous contraintes est une question centrale qui apparaît dans de nombreux domaines des sciences de l'ingénieur. Pour certaines applications, il est important d'obtenir des résultats fiables. De nombreuses techniques ont été développées dans le cas où les contraintes sont données par des inéquations polynomiales.
Dans cette thèse, on se concentre sur le problème d'optimisation d'un polynôme à $n$ variables sous des contraintes définies par des équations polynomiales à $n$ variables. Notre but est d'obtenir des outils, algorithmes et implémentations efficaces et fiables pour résoudre ces problèmes d'optimisation.
Notre stratégie est de ramener le problème d'optimisation sous des contraintes qui définissent des ensembles algébriques de dimension quelconque à un problème équivalent, sous des nouvelles contraintes dont on maîtrise la dimension. La variété algébrique définie par ces nouvelles contraintes est l'union du lieu critique du polynôme objectif et d'un ensemble algébrique de dimension au plus 1. Pour cela, on utilise des objets géométriques définis comme lieux critiques de projections linéaires.
Grâce au bon contrôle de la dimension, on prouve l'existence de certificats pour des bornes inférieures sur $f^*$ sur nos nouvelles variétés. Ces certificats sont donnés par des sommes de carrés et on ne suppose pas que $f^*$ est atteint.
De même, on utilise les propriétés de nos objets géométriques pour concevoir un algorithme exact pour le calcul de $f^*$. S'il existe, l'algorithme renvoie aussi un minimiseur. Pour un problème avec $s$ contraintes et des polynômes de degrés au plus $D$, la complexité est essentiellement cubique en $(sD)^n$ et linéaire en la complexité d'évaluation des entrées. L'implantation, disponible sous forme de bibliothèque Maple, reflète cette complexité. Elle a permis de résoudre des problèmes inatteignables par les autres algorithmes exacts.

Abstract :
Computing the global infimum $f^*$ of a multivariate polynomial subject to some constraints is a central question since it appears in many areas of engineering science. For some particular applications, it is of first importance to obtain reliable results. A lot of techniques has emerged to deal with constraints defined by polynomial inequalities.
In this thesis, we focus on the optimization problem of a $n$-variate polynomial subject to constraints defined by $n$-variate polynomial equations. Our goal is to obtain reliable and efficient tools, algorithms and implementations to solve polynomial optimization problems.
To do that, our strategy is to reduce the optimization problem subject to constraints defining algebraic sets of arbitrary dimension to an equivalent optimization problem, subject to constraints defining algebraic sets whose dimension is well-controlled. The algebraic variety defined by these new constraints is the union of the critical locus of the objective polynomial and an algebraic set of dimension at most 1. This is done by means of geometric objects defined as critical loci of linear projections.
Since the dimension is well-controlled, the existence of certificates for lower bounds on $f^*$ can be proved on this new variety. This is done by means of sums of squares and it does not require that $f^*$ is reached.
Likewise, we use the properties of our geometric objects to design an exact algorithm computing $f^*$. If it exists, a minimizer is also returned. If there are $s$ constraints and if all the polynomials have degree at most $D$, its complexity is essentially cubic in $(sD)^n$ and linear in the evaluation complexity of the input. Its implementation, available as a Maple library, reflects the theoretical complexity. It solves problems unreachable by previous exact algorithms.
Informations complémentaires
Didier HENRION, Directeur de Recherche CNRS - Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Systèmes (LAAS) - Toulouse - Rapporteur
Markus SCHWEIGHOFER, Professeur des Universités, à l’Université de Constance/Faculté de Mathématiques et de Statistiques - Constance (Allemagne) - Rapporteur
Vincent COSSART, Professeur des Universités, à l’Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines/Laboratoire de Mathématiques de Versailles (LMV) - Versailles - Directeur de thèse
Mohab SAFEY EL DIN, Professeur des Universités, à l’Université de Pierre et Marie Curie/Laboratoire d’Informatique de Paris 6 (LIP 6) - Paris - Co-Directeur de thèse
Jean-Charles FAUGERE, Directeur de Recherche INRIA, à l’Université de Pierre et Marie Curie/Laboratoire d’Informatique de Paris 6 (LIP 6) - Paris - Examinateur
Stéphane GAUBERT, Directeur de Recherche INRIA, à l’Ecole Polytechnique/Centre de Mathématiques Appliquées (CMAP) - UMR 7641 - Examinateur
Marc GIUSTI, Directeur de Recherche CNRS, à l’Ecole Polytechnique/Laboratoire d’Informatique de l’Ecole Polytechnique (LIX) - UMR 7161 - Palaiseau - Examinateur
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