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" Quelques problèmes de controlabilité"

le 11 juin 2010

Le vendredi 11 juin 2010 à 14h00
à l'UVSQ- Bâtiment Fermat - Amphithéâtre F
45 avenue des Etats-Unis - 78000 Versailles

Présenté par Monsieur Thierry HORSIN Discipline : Mathématiques Appliquées Laboratoire LMV

Dans cette présentation, on s’intéresse, en premier lieu, aux équations de Maxwell de l’électromagnétisme du point de vue de la contrôlabilité versus les relations constitutives spécifiques des milieux rencontrés. Les cas abordés sont inspirés des matériaux dits chiraux, suivant plusieurs types de modélisation, depuis l’introduction de termes de mémoire jusqu’au cas spécifique de l’approximation de Drude-Born-Fedorov, montrant que le choix des relations influent sur le résultat classique de contrôlabilité similaire à celle de l’équation de l’équation des ondes. Une version stochastique est également brièvement envisagée. Ces résultats ont été obtenues de différentes collaborations avec P. Courilleau, I.G. Stratis et A. Yannacopoulos. Dans un deuxième temps, on considère une forme de contrôlabilité où l’état à prescrire est, non pas la solution de l’équation aux dérivées partielles envisagée, mais le flot de cette solution, c’est à dire, dans le cas d’un modèle fluide, le mouvement effectif qui découle de celle-ci. Partant de situations monodimensionnelles jusqu’à un modèle de fluide plus traditionnel comme l’équation d’Euler, on propose des résultats, essentiellement positifs sous certaines contraintes topologiques et géométriques, de contrôlabilité dite contrôlabilité lagrangienne exacte ou approchée (suivant le cas), par une action localisée. Différentes techniques sont employées, ou bien directement issues de la contrôlabilité en variables eulériennes, ou plus spécifiquement mises en place pour le traitement direct du flot. A cette occasion, la méthode du retour, consistant, ici, via des changements d’échelle, à linéariser autour d’un écoulement potentiel à vitesse très élevée pendant un temps très court, est à nouveau explorée en dimension 2 ou 3. L’aspect numérique est également envisagé. Cette partie est principalement le fruit de collaborations avec O. Glass et O. Kavian. Finalement, on présente un résultat de convergence d’une discrétisation explicite de l’équation de Boltzmann, qui n’a, a priori, pas de rapport avec la contrôlabilité, mais dont la preuve repose également sur des changements d’échelle. Ce travail est commun avec S. Mischler et A. Vasseur.
 
Abstract : In the first part of this work, the Maxwell system is considered from the point of view of controllability versus the constitutive relations describing the behavior of a medium under an electro-magnetic stress. The equations considered here are inspired from the chiral media under different assumptions, from the introduction of delayed effects up to the Drude-Born-Fedorov approximation, showing that the constitutive relations modify the classical controllability result similar to the one for the wave equation. A brief incursion in the Maxwell system with a stochastic source is also treated. These different results have been obtained from different collaborations with P. Courilleau, I.G Stratis and A. Yannacopoulos.
The second part is devoted to the study of another type controllability, for which the state to be driven is the flow of the solution of a partial differential equation, i.e. in the case of a model of fluid, the real motion of fluid particles generated by it. Starting from one-dimensional situations to a more traditional fluid model such as the Euler system, we propose positive results, under topological or geometrical assumptions, on this type of controllability which we call, depending on the situation, approximate or exact lagrangian controllability. Different technics are used, either directly inspired by the controllability in the eulerian description, or directly proposed for treating the flow. In this framework, the so-called return method, which, here, consists in flowing potential solutions at a very high velocity during a short period of time, is applied in dimension 2 ou 3. The numerical aspect is also discussed.
This part summarizes different works mainly written with O. Glass and O. Kavian.
We eventually present the convergence of an explicit scheme of the Boltzmann equation, a priori disconnected from the controllability topic, but whose
Informations complémentaires
Otared KAVIAN, Professeur des Universités à l’Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines – Rapporteur
Jean-Pierre RAYMOND, Professeur des Universités à l’Université de Paul Sabatier Toulouse  – Rapporteur
Enrique ZUAZUA IRLONDO, Research Professor BCAM Bilbao Espagne– Rapporteur
Fatiha ALABAU, Professeur des Universités à l’Université de Metz-  Examinateur
Jean-Michel CORON, Professeur des Universités à l’Université de Paris VI jussieu - Examinateur
Jean-Pierre PUEL, Professeur Emérite des Universités à l’Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines - Examinateur
Pierre ROUCHON, Professeur des Universités à l’Ecole des Mines de Paris– Examinateur
Marius TUCSNAK, Professeur des Universités à l’Institut Elie Cartan– Examinateur
Contact :
Direction de la Recherche des Etudes Doctorales et de la Valorisation - DREDVAL :