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«Théorèmes limites pour des martingales vectorielles en temps continu et applications statistiques»

Discipline : mathématiques Présentée par : Mr Hamdi FATHALLAH en co-tutelle franco-tunisienne avec l'Université 7 novembre à Carthage - Faculté des Sciences de Bizerte Laboratoire : LMV

Cette thèse se compose de trois chapitres. Dans le premier chapitre, en utilisant les théorèmes limites par moyennisation logarithmique pour des martingales continues en temps continu, on construit un estimateur du couple $( heta,sigma^{2})$ pour un modèle autorégressif gaussien stable à temps continu et on montre que cet estimateur est asymptotiquement distribué comme un couple de variables aléatoires gaussiennes indépendantes quelle que soit la loi de l'état initial $X_{0}$.  Le second chapitre est consacré à établir des résultats autour du théorème limite presque-sûre pour des martingales vectorielles quasi-continues à gauche en temps continu et à croissance explosive ou mixte. On applique les résultats obtenus au modèle d'Ornstein-Uhlenbeck bivarié utilisé en modélisation biologique et en mathématiques financières. Dans le dernier chapitre, on établit pour l'estimateur des moindres carrés $hat{ heta}$ de $ heta$ d'un modèle autorégressif gaussien à temps continu non nécessairement stable, un TLCPS, une loi forte quadratique associée au TLCPS et un théorème de la limite centrale logarithmique. Dans le cas stable, on propose d'utiliser l'estimateur des moindres carrés pondérés $ ilde{ heta}$ de $ heta$ pour améliorer les vitesses de convergences logarithmiques dans les théorèmes obtenus. Dans le cas instable, on établit pour l'estimateur des moindres carrés $hat{ heta}$, le même type de propriétés asymptotiques avec une vitesse de convergence arithmétique.

Abstract :

This thesis consists of three chapters. In the first chapter, for a stable gaussian autoregressive model in continuous time, by an averaging method we construct an estimator of the couple $( heta,sigma^2)$ without discretization of the observed process. This estimator is shown to be asymptotically distributed as a couple of independent gaussian random variables for any given initial state $X_0$ is. In the second chapter, we establish several results around the almost-sure central limit theorem for a quasi-left continuous vector martingale with explosive and mixed growth. We employ the obtained results in order to complete the existing literature on convergence rates in the parameter estimation problem for a bivariate Ornstein-Uhlenbeck model frequently used in mathematical finance and biological modelling. In the last chapter, for a gaussian autoregressive model in continuous time, we establish for the least-square estimate $hat{ heta}$ of $ heta$, an almost-sure central limit theorem (ASCLT), a quadratic strong law associated with ASCLT (QSL) and a logarithmic central limit theorem (LCLT). In stable case, we suggest using the weight least-square estimate $ ilde{ heta}$ of $ heta$ to improve a logarithmic convergence rates in the obtained theorems. In unstable case, we establish for the least-square estimate $hat{ heta}$ of $ heta$, the same type of asymptotic properties with an arithmetical convergence rates.

Informations complémentaires

Bernard BERCU, Professeur des Universités, à l’Université de Bordeaux I - Talence - Rapporteur

Faiza MAÂOUIA, Professeure des Universités, à l’Université Tunis El Manar - El Manar 1 (Tunisie) - Rapporteur

Abdelkader MOKKADEM, Professeur des Universités, à l’Université Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines - Laboratoire de Mathématiques de Versailles (LMV) - Directeur de thèse de l’Université Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines

Faouzi CHAÂBANE, Professeur des Universités, à l’Université 7 novembre à Carthage - Jarzouna (Tunisie) - Directeur de thèse de l’Université 7 novembre à Carthage - Faculté des Sciences de Bizerte (Tunisie)

Oleksiy KHORUNZHIY, Professeur des Universités, à l’Université Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines - Laboratoire de Mathématiques de Versailles (LMV)- Examinateur

Mohamed RAOUF-JAIBI, Professeur des Universités, à l’Université Tunis El Manar - El Manar 1 (Tunisie) - Examinateur

Emmanuel RIO, Professeur des Universités, à l’Université Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines - Laboratoire de Mathématiques de Versailles (LMV)- Examinateur

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